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L'utilizzo degli ultrafiltri su $\mathbb N$ per descrivere le proprietà di ricorrenza in dinamica topologica è un tema di ricerca ben studiato (tra gli altri, da Bergelson, Blass, Hindman e Strauss). In particolare, lo spazio $\beta\mathbb N$ degli ultrafiltri su $\mathbb N$ può essere considerato come una sorta di dinamica topologica universale.
In questo seminario tenteremo di descrivere $\beta\mathbb N$ anche come un sistema measure preserving universale: mostreremo come una certa classe di misure compatibili su dinamiche topologiche possa esser costruita a partire da misure su $\beta\mathbb N$.
Innanzitutto, presenteremo velocemente le proprietà di ricorrenza nel linguaggio degli ultrafiltri. Poi introdurremo le misure che ci interessano su $\beta\mathbb N$: queste saranno i pushforward di misure di Loeb su qualche estensione nonstandard dei numeri naturali. Infine, motiveremo il fatto che queste misure siano in un certo senso universali per dinamiche topologiche measure preserving.